26/1/09: Τρίτο διαγώνισμα και τελικοί βαθμοί

Σήμερα είχαμε το τελευταίο μας διαγώνισμα.

Μπορείτε να δείτε τους τελικούς σας βαθμούς εδώ.

(Προσοχή: υπήρξαν μερικές διορθώσεις στις 27/1, 4μμ.)

Παρακαλώ πολύ να ελέγχετε τα στοιχεία που σας αφορούν μια και τα λάθη (αντιγραφής, στο πρόγραμμα που βγάζει τους βαθμούς, κλπ) είναι υπαρκτά.

13/1/09: Παραδείγματα και ασκήσεις

Σήμερα ασχοληθήκαμε κυρίως με παραδείγματα και λίγες ασκήσεις σχετικές με το χθεσινό μάθημα.

12/1/09: Σημεία εσωτερικά, οριακά και σημεία συσσώρευσης

Σήμερα είδαμε τις έννοιες που περιλαμβάνονται στην παρ. 4.3 και ειδικότερα τους ορισμούς των εσωτερικών σημείων συνόλου , των οριακών του σημείων, των σημείων συσσώρευσης καθώς και του συνόρου του .

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.3: 37, 38, 41, 42, 46, 47, 51, 55, 56, 60, 61, 64, 66, 70, 71, 75.

Έκτακτα μαθήματα τον Ιανουάριο (2η διόρθωση)

Καλή χρονιά.

Θα γίνουν τα εξής έκτακτα μαθήματα κατά τον Ιανουάριο:

“Θεωρία“: Δε 12/1/09, 5-7 (Αμφ Α), Τρ 13/1/09. 3-5 (Αμφ Α, όπως στη διάρκεια του εξαμήνου)

“Ασκήσεις“: Τρ 20/1/09, 5-7, Πα 23/1/09, 2-4 (Θ 207)

Υπάρχει περίπτωση να αλλάξουν οι ώρες. Τυχόν αλλαγές θα ανακοινωθούν εδώ.

18/12/08: Ισοδύναμες μετρικές. Κλειστά σύνολα.

Είδαμε ότι η ευκλείδια και η μετρική στο δίνουν τα ίδια ακριβώς ανοιχτά σύνολα και το ίδιο συμβαίνει με όλες τις μετρικές σε όλους του .

Δύο μετρικές στο ίδιο σύνολο λέγονται ισοδύναμες αν ορίζουν τα ίδια ανοιχτά σύνολα.

Δείξαμε έπειτα ότι σε κάθε μετρικό χώρο με μετρική υπάρχει μια ισοδύναμε μετρική που είναι φραγμένη, η

.

Ορίσαμε τα κλειστά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο ως τα συμπληρώματα των ανοιχτών συνόλων και δείξαμε ότι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών συνόλων είναι κλειστά σύνολα και ότι η τομή μιας οπιασδήποτε οικογένειας κλειστών συνόλων (όχι αναγκαστικά πεπερασμένης) είναι κλειστό σύνολο.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 7, 8, 12, 13, 15, 17-21, 24, 27, 35.

16/12/08: Παραδείγματα ανοιχτών συνόλων

Σήμερα εξετάζαμε διάφορες περιπτώσεις συνόλων, συνήθως υποσυνόλων του ή του και βλέπαμε αν είναι ανοιχτά σύνολα ή όχι.

Επίσης αποδείξαμε ότι οποιαδήποτε ένωση ένωση ανοιχτω είναι ανοιχτό σύνολο και επίσης ότι οποιαδήποτε τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι επίσης ανοιχτό.

11/12/08: Γειτονιά (περιοχή) σημείου σε μετρικό χώρο

Είδαμε πώς ορίζουμε την έννοια της γειτονιάς (περιοχής) ενός σημείου ενός μετρικού χώρου με ακτίνα :

.

Είδαμε έπειτα διάφορα παραδείγματα γειτονιάς σε μερικούς μετρικούς χώρους.

Είδαμε επίσης τον ορισμό ενός ανοιχτού συνόλου . Το λέγεται ανοιχτό αν για κάθε υπάρχει μια ολόκληρη γειτονιά του που περιέχεται στο , υπάρχει δηλ. τέτοιο ώστε

.

Διαβάστε μέχρι και τη σελ. 84 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 6, 7, 9-13.

Διακοπή μαθημάτων στο ΠΚ

Χωρίς σχόλια …

ΠΡΑΚΤΙΚΑ 610ης/08.12.2008 ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣ ΤΟΥ
ΠΡΥΤΑΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ

Θέματα Ακαδημαϊκά

Θέμα  «Διακοπή της θεσμικής λειτουργίας του Πανεπιστημίου
Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008»

Το Πρυτανικό Συμβούλιο συνήλθε εκτάκτως σήμερα σε έκτακτη
συνεδρίαση και σε συνέχεια του Δελτίο Τύπου, και λαμβάνοντας υπόψη τις αποφάσεις των Γενικών Συνελεύσεων των φοιτητικών συλλόγων,

Α π ο φ α σ ί ζ ε ι

Να διακόψει την θεσμική λειτουργία του Πανεπιστημίου Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008, τιμώντας έτσι στο ελάχιστο, τον αδικοχαμένο μαθητή Αλέξη Γρηγορόπουλο. Παράλληλα, αναλαμβάνει πρωτοβουλίες για ειρηνικές παρεμβάσεις και συζητήσεις ούτως ώστε να κατανοήσουμε ότι η καταστολή της βίας δεν γίνεται με βία αλλά με εμπέδωση και εμβάθυνση της δημοκρατίας σε όλους τους θεσμούς. Το δικαίωμα της ειρηνικής αμφισβήτησης, της ελευθερίας γνώμης και της ελεύθερης διακίνησης των ιδεών, είναι η προϋπόθεση για μια ειρηνική
και ελεύθερη κοινωνία.

Ακριβές απόσπασμα
Ρέθυμνο, 08.12.2008
Η Γραμματέας
του Πρυτανικού Συμβουλίου
Φωτεινή Μαμαλάκη

4/12/08: Παραδείγματα μετρικών χώρων

Σήμερα (2 ώρες στις ασκήσεις το πρωί και 1 το απόγευμα) ασχοληθήκαμε κυρίως με το να αναφέρουμε διάφορα παραδείγματα μετρικών χώρων.

Μεταξύ άλλων είδαμε πώς γενικεύεται η μετρική από το σε χώρους απείρων ακολουθιών όπως και σε χώρους συναρτήσεων. Είδαμε πώς μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχη μετρική σε χώρους συνεχών συναρτήσεων. Ερώτηση για εσάς: γιατί υποθέτουμε τη συνέχεια των συναρτήσεων όταν ορίζουμε, π.χ., την απόσταση των να είναι η απόσταση

;

Είδαμε επίσης πώς μπορεί κανείς να ορίσει ανάλογες μετρικές με βάρη. Για παράδειγμα, αν τότε ορίζουμε την μετρική στο με βάρη να είναι η ποσότητα

,

όπου . Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας για αυτή τη βεβαρυμένη είναι σχεδόν άμεση συνέπεια της αντίστοιχης με βάρη .

Ομοίως αποδεικνύεται και η βεβαρυμένη Holder:

.

2/12/08: Ιδιότητες δυναμοσειρών. Εισαγωγή στους μετρικούς χώρους.

Καλύψαμε την παρ. 3.2 των σημειώσεων. Είδαμε ότι οι δυναμοσειρές συγκλίνουν ομοιόμορφα για κάθε κλειστό γνήσιο υποδιάστημα του διαστήματος σύγκλισης και ότι είναι, άρα, συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα σύγκλισης. Όταν ολοκληρώνουμε την

σε ένα διάστημα ( η ακτίνα σύγκλισης) τότε το αποτέλεσμα είναι η σειρά των ολοκληρωμάτων των όρων της σειράς στο ίδιο διάστημα. Μπορούμε δηλ. να ολοκληρώνουμε δυναμοσειρές κατά όρους. Από αυτό δείξαμε έπειτα ότι κάθε δυναμοσειρά παραγωγίζεται στο διάστημα σύγκλισης και η παράγωγος είναι η δυναμοσειρά που προκύπτει αν παραγωγίσουμε τους όρους της αρχικής. Άρα κάθε δυναμοσειρά είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα σύγκλισής της. Τέλος είδαμε παραδείγματα δυναμοσειρών και εφαρμογές των παραπάνω σε αυτές (γεωμετρική, εκθετική συνάρτηση, λογάριθμο).

Λύστε τις ασκήσεις 15, 16 και 17 της 3.2.

Μπορείτε να παραλείψετε τις παραγράφους 3.3 και 3.4.

Αρχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους (παρ. 4.1) και είδαμε διάφορα παραδείγματα τέτοιων. Αποδείξαμε τις ανισότητες

(Cauchy-Schwartz)

και, αν και τότε

(Holder).

Από αυτές (η πρώτη είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης για ) προκύπτει η τριγωνική ανισότητα για τις λεγόμενες μετρικές (αποστάσεις) στο .

Διαβάστε την παρ. 4.1 και λύστε από εκεί τις ασκήσεις 2, 3.

Ασκήσεις την Πέμπτη με μένα

Την Πέμπτη 4/12/08 θα διδάξω εγώ το δίωρο των ασκήσεων μια και ο βοηθός (Γιάννης Κωνσταντούλας) παίρνει το πτυχίο του, και πρέπει να πάει οπωσδήποτε για να πει και τον όρκο.

Και στα δικά σας.

Έχετε 3 1/2 ώρες στη διάθεσή σας;

Δοκιμάστε τις ικανότητές σας σε αυτό το διαγώνισμα. (Οι απαντήσεις εδώ αλλά μην τις κοιτάξετε πριν το λύσετε.)

27/11/08: Λύσεις για το 2ο διαγώνισμα

Σήμερα στο μάθημα λύσαμε τις ασκήσεις του 2ου διαγωνίσματος.

27/11/08: Όχι ασκήσεις σήμερα

Το σημερινό μάθημα των ασκήσεων 11-1 δε θα γίνει λόγω ξαφνικής ασθένειας του βοηθού.

21/11/08: Δεύτερο Διαγώνισμα

Είχαμε σήμερα το δεύτερό μας διαγώνισμα. Μπορείτε να δείτε τα αποτελέσματα εδώ σε μορφή PDF.

Τα αποτελέσματα είναι αισθητά χειρότερα από το πρώτο διαγώνισμα. Η αλήθεια είναι ότι το υλικό (ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών και σειρών) είναι σαφώς δυσκολότερο από τη σύγκλιση σειρών αριθμών. Ελπίζω ότι στο τρίτο διαγώνισμα, που θα αφορά κυρίως τους μετρικούς χώρους, θα έχουμε την ευκαιρία να το διορθώσουμε.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την Τρίτη 25/11/08

Από την Κοσμητεία της Σχολής:

ΠΡΟΣ

όλα τα μέλη της

Πανεπιστημιακής Κοινότητας

του προκατασκευασμένου κτιρίου

της λ. Κνωσού

Αγαπητά μέλη της Πανεπιστημιακής Κοινότητας,

Με λύπη μου σας ανακοινώνω ότι λόγω εκτάκτου ανάγκης, θα γίνει ΑΝΑΣΤΟΛΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ της Σχολής Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών στο ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ της λ. Κνωσού, την ΤΡΙΤΗ 25 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ, λόγω επείγουσας ανάγκης για την επισκευή του δικτύου ύδρευσης.

Δεν θα υπάρχει νερό σε κανένα σημείο του προκατασκευασμένου κτιρίου (δηλαδή ούτε στο εστιατόριο, ούτε στο κυλικείο).

Ελπίζω ότι η βλάβη θα αποκατασταθεί εντός μίας ημέρας.

Κυλάφης Νικόλαος,

Κοσμήτωρ Σχολής Θετικών και

Τεχνολογικών Επιστημών

20/11/08: Λύση ασκήσεων

Σήμερα λύσαμε μερικές ασκήσεις από την παρ. 3.1.

Το μάθημα διακόπηκε 20 λεπτά νωρίτερα από τη συνέλευση των φοιτητών που γινόταν στο διπλανό αμφιθέατρο.

18/11/08: Λύση ασκήσεων

Σήμερα λύσαμε τις υπόλοιπες ασκήσεις από το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων (εκτός την τελευταία).

13/11/08: Δίωρο ασκήσεων και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών

Το πρωί στο δίωρο ασκήσεων (που το δίδαξα εγώ σήμερα) κάναμε κάποιες ασκήσεις από το 2ο φυλλάδιο (μέχρι και την 4η του 2ου προβλήματος).

Το απόγευμα ασχοληθήκαμε με την ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών και είδαμε κυρίως το κριτήριο του Weierstrass και πώς χρησιμοποιέιται.

Λύστε τις Ασκήσεις 1-4 της .

Δεύτερο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Με ασκήσεις πάνω στην ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων. Μπορείτε να το βρείτε εδώ σε μορφή PDF.Θα υπάρχουν και μερικά τυπωμένα αντίγραφα έξω από το γραφείο μου.

4/11/08: Ιδιότητες της ομοιόμ. σύγκλισης

Σήμερα είδαμε το κριτήριο του Cauchy για να συγκλίνει μια ακολουθία συναρτήσεων ομοιόμορφα. Η μεγάλη αξία του κριτηρίου αυτού είναι ότι μας επιτρέπει να πούμε αν μια ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα χωρίς να ξέρουμε εκ των προτέρων την οριακή συνάρτηση.

Είδαμε επίσης ότι η συνέχεια διατηρείται από την ομοιόμορφη σύγκλιση (Θεώρ. 2.2 των σημειώσεών σας) καθώς και ότι τα ολοκληρώματα των συναρτήσεων της ακολουθίας συγκλίνουν στο ολοκλήρωμα του ορίου (Θεώρ. 2.2). Δεν αναφερθήκαμε στο Θεώρ. 2.4.

Είδαμε το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass (χωρίς απόδειξη) και διάφορες παραλλαγές του.

Λύστε τις ασκήσεις 18, 23, 24, 25 του Κεφ. 2 των σημειώσεών σας.

30/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση και διατήρησή της από πράξεις

Σήμερα λύσαμε κατ’αρχήν την Άσκηση 12 των σημειώσεών σας. Έπειτα αποδείξαμε την Πρόταση 2.3 και την Άσκηση 14. Αυτές μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών , και , γνωρίζοντας την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών και μερικές επιπλέον προϋποθέσεις.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα, ασκήσεις στις 6/11/2008

Λόγω απουσίας μου αλλά και του μεταπτυχιακού φοιτητή που διδάσκει το δίωρο ασκήσεων, το δίωρο ασκήσεων και η μια ώρα του μαθήματος της 6/11/2008 δε θα γίνουν.

Επίσης το δίωρο ασκήσεων της 13/11/2008 θα διδαχτεί από εμένα.

Υπενθυμίζεται επίσης ότι η 11/11/2008 είναι αργία για το Πανεπιστήμιο στο Ηράκλειο.

23/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις 10 και 11 (σελ. 44 των σημειώσεών σας).

21/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων

Σήμερα συζητήσαμε κατ’αρχήν τις ασκήσεις του διαγωνίσματος της περασμένης Παρασκευής.

Είδαμε παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο στο πεδίο ορισμού τους σε μια συνάρτηση . Ορίσαμε την ομοιόμορφη απόσταση δύο συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους ως

Το να συγκλίνει ομοιόμορφα μια ακολουθία συναρτήσεων στη συνάρτηση για σημαίνει ακριβώς ότι

όταν .

Η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Είδαμε διάφορα παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο και εξετάσαμε αν η σύγκλιση είνια ομοιόμορφη ή όχι.

Διαβάστε από τις και 2.2 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10.

Διευκρίνηση για τους βαθμούς του διαγωνίσματος

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι, όσον αφορά τους βαθμούς του διαγωνίσματος, οι οποίοι σας ανακοινώθηκαν στην κλίμακα 0-10, η βάση δε βρίσκεται στο 5, και αυτό επειδή υπάρχει και αρνητική βαθμολόγηση για τις λάθος απαντήσεις. Για παράδειγμα, εάν αυτό ήταν το μόνο διαγώνισμα από το οποίο θα σας έκρινα για να περάσετε ή όχι το μάθημα τότε θα πέρναγαν αυτοί που είχαν από 4 και πάνω (στην κλίμακα 0-10) και ίσως και κάτι λιγότερο.

Όμως αυτή η γραμμή θα τραβηχτεί μόνο αφού έχουν γραφεί και τα τρία διαγωνίσματα. Δεν έχει δηλ. νόημα να κάνετε την ερώτηση τώρα αν “περνάτε ή όχι”.

17/10/08: Πρώτο διαγώνισμα

Είχαμε σήμερα το πρώτο διαγώνισμα (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, 1 ώρα).

Τα αποτελέσματα είναι εδώ σε μορφή PDF.

16/10/08: Λύση ασκήσεων

Και στο σημερινό μάθημα ασχοληθήκαμε με το να λύσουμε ορισμένες ασκήσεις από τις σημειώσεις και το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων και να απαντήσουμε διάφορες ερωτήσεις.

14/10/08: Γινόμενο Cauchy σειρών. Αναδιατάξεις σειρών.

Ορίσαμε το γινόμενο Cauchy (ή συνέλιξη) δύο σειρών και ως τη σειρά όπου η ακολουθία δίνεται από τον τύπο

.

13/10/08: Λύση ασκήσεων (έκτακτο δίωρο)

Σήμερα είχαμε ένα έκτακτο δίωρο ασκήσεων κατά τη διάρκεια του οποίου απαντήθηκαν διάφορες ερωτήσεις του ακροατηρίου και λύθηκαν από το διδάσκοντα διάφορες ασκήσεις.

Εδώ μπορείτε να βρείτε σε μορφή PDF μια συλλογή ασκήσεων την οποία περιμένω να λύσετε κατά τη διάρκεια της εβδομάδας ως μέρος της προετοιμασίας σας για το πρώτο διαγώνισμα (της ερχόμενης Παρασκευής).