18/12/08: Ισοδύναμες μετρικές. Κλειστά σύνολα.

Δεκεμβρίου 18, 2008

Είδαμε ότι η ευκλείδια και η {\ell^1} μετρική στο {\mathbb R}^2 δίνουν τα ίδια ακριβώς ανοιχτά σύνολα και το ίδιο συμβαίνει με όλες τις μετρικές {\ell^p} σε όλους του {\mathbb R}^n.

Δύο μετρικές στο ίδιο σύνολο X λέγονται ισοδύναμες αν ορίζουν τα ίδια ανοιχτά σύνολα.

Δείξαμε έπειτα ότι σε κάθε μετρικό χώρο με μετρική d(x,y) υπάρχει μια ισοδύναμε μετρική που είναι φραγμένη, η

\displaystyle{ d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} }.

Ορίσαμε τα κλειστά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο ως τα συμπληρώματα των ανοιχτών συνόλων και δείξαμε ότι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών συνόλων είναι κλειστά σύνολα και ότι η τομή μιας οπιασδήποτε οικογένειας κλειστών συνόλων (όχι αναγκαστικά πεπερασμένης) είναι κλειστό σύνολο.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 7, 8, 12, 13, 15, 17-21, 24, 27, 35.

Αφήστε Σχόλιο » | Διαδικαστικά - Ανακοινώσεις - Ημερολόγιο μαθήματος | Μόνιμος σύνδεσμος
Δημοσιεύθηκε από Mihalis Kolountzakis

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.