26/1/09: Τρίτο διαγώνισμα και τελικοί βαθμοί

27 Ιανουαρίου, 2009

Σήμερα είχαμε το τελευταίο μας διαγώνισμα.

Μπορείτε να δείτε τους τελικούς σας βαθμούς εδώ.

(Προσοχή: υπήρξαν μερικές διορθώσεις στις 27/1, 4μμ.)

Παρακαλώ πολύ να ελέγχετε τα στοιχεία που σας αφορούν μια και τα λάθη (αντιγραφής, στο πρόγραμμα που βγάζει τους βαθμούς, κλπ) είναι υπαρκτά.


13/1/09: Παραδείγματα και ασκήσεις

16 Ιανουαρίου, 2009

Σήμερα ασχοληθήκαμε κυρίως με παραδείγματα και λίγες ασκήσεις σχετικές με το χθεσινό μάθημα.


12/1/09: Σημεία εσωτερικά, οριακά και σημεία συσσώρευσης

12 Ιανουαρίου, 2009

Σήμερα είδαμε τις έννοιες που περιλαμβάνονται στην παρ. 4.3 και ειδικότερα τους ορισμούς των εσωτερικών σημείων συνόλου A, των οριακών του σημείων, των σημείων συσσώρευσης καθώς και του συνόρου του A.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.3: 37, 38, 41, 42, 46, 47, 51, 55, 56, 60, 61, 64, 66, 70, 71, 75.


Έκτακτα μαθήματα τον Ιανουάριο (2η διόρθωση)

8 Ιανουαρίου, 2009

Καλή χρονιά.

Θα γίνουν τα εξής έκτακτα μαθήματα κατά τον Ιανουάριο:

«Θεωρία«: Δε 12/1/09, 5-7 (Αμφ Α), Τρ 13/1/09. 3-5 (Αμφ Α, όπως στη διάρκεια του εξαμήνου)

«Ασκήσεις«: Τρ 20/1/09, 5-7, Πα 23/1/09, 2-4 (Θ 207)

Υπάρχει περίπτωση να αλλάξουν οι ώρες. Τυχόν αλλαγές θα ανακοινωθούν εδώ.


18/12/08: Ισοδύναμες μετρικές. Κλειστά σύνολα.

18 Δεκεμβρίου, 2008

Είδαμε ότι η ευκλείδια και η {\ell^1} μετρική στο {\mathbb R}^2 δίνουν τα ίδια ακριβώς ανοιχτά σύνολα και το ίδιο συμβαίνει με όλες τις μετρικές {\ell^p} σε όλους του {\mathbb R}^n.

Δύο μετρικές στο ίδιο σύνολο X λέγονται ισοδύναμες αν ορίζουν τα ίδια ανοιχτά σύνολα.

Δείξαμε έπειτα ότι σε κάθε μετρικό χώρο με μετρική d(x,y) υπάρχει μια ισοδύναμε μετρική που είναι φραγμένη, η

\displaystyle{ d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} }.

Ορίσαμε τα κλειστά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο ως τα συμπληρώματα των ανοιχτών συνόλων και δείξαμε ότι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών συνόλων είναι κλειστά σύνολα και ότι η τομή μιας οπιασδήποτε οικογένειας κλειστών συνόλων (όχι αναγκαστικά πεπερασμένης) είναι κλειστό σύνολο.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 7, 8, 12, 13, 15, 17-21, 24, 27, 35.


16/12/08: Παραδείγματα ανοιχτών συνόλων

16 Δεκεμβρίου, 2008

Σήμερα εξετάζαμε διάφορες περιπτώσεις συνόλων, συνήθως υποσυνόλων του {\mathbb R} ή του {\mathbb R}^2 και βλέπαμε αν είναι ανοιχτά σύνολα ή όχι.

Επίσης αποδείξαμε ότι οποιαδήποτε ένωση ένωση ανοιχτω είναι ανοιχτό σύνολο και επίσης ότι οποιαδήποτε τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι επίσης ανοιχτό.


11/12/08: Γειτονιά (περιοχή) σημείου σε μετρικό χώρο

11 Δεκεμβρίου, 2008

Είδαμε πώς ορίζουμε την έννοια της γειτονιάς (περιοχής) ενός σημείου {x \in X} ενός μετρικού χώρου με ακτίνα {r > 0}:

{N_x(r) = \{ y \in X:\ d(x,y) < r \}}.

Είδαμε έπειτα διάφορα παραδείγματα γειτονιάς σε μερικούς μετρικούς χώρους.

Είδαμε επίσης τον ορισμό ενός ανοιχτού συνόλου G \subseteq X. Το G λέγεται ανοιχτό αν για κάθε {g \in G} υπάρχει μια ολόκληρη γειτονιά του g που περιέχεται στο G, υπάρχει δηλ. r>0 τέτοιο ώστε

{N_g(r) \subseteq G}.

Διαβάστε μέχρι και τη σελ. 84 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 6, 7, 9-13.


Διακοπή μαθημάτων στο ΠΚ

9 Δεκεμβρίου, 2008

Χωρίς σχόλια …

ΠΡΑΚΤΙΚΑ 610ης/08.12.2008 ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣ ΤΟΥ
ΠΡΥΤΑΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ


Θέματα Ακαδημαϊκά

Θέμα  «Διακοπή της θεσμικής λειτουργίας του Πανεπιστημίου
Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008»

Το Πρυτανικό Συμβούλιο συνήλθε εκτάκτως σήμερα σε έκτακτη
συνεδρίαση και σε συνέχεια του Δελτίο Τύπου, και λαμβάνοντας υπόψη τις αποφάσεις των Γενικών Συνελεύσεων των φοιτητικών συλλόγων,

Α π ο φ α σ ί ζ ε ι


Να διακόψει την θεσμική λειτουργία του Πανεπιστημίου Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008, τιμώντας έτσι στο ελάχιστο, τον αδικοχαμένο μαθητή Αλέξη Γρηγορόπουλο. Παράλληλα, αναλαμβάνει πρωτοβουλίες για ειρηνικές παρεμβάσεις και συζητήσεις ούτως ώστε να κατανοήσουμε ότι η καταστολή της βίας δεν γίνεται με βία αλλά με εμπέδωση και εμβάθυνση της δημοκρατίας σε όλους τους θεσμούς. Το δικαίωμα της ειρηνικής αμφισβήτησης, της ελευθερίας γνώμης και της ελεύθερης διακίνησης των ιδεών, είναι η προϋπόθεση για μια ειρηνική
και ελεύθερη κοινωνία.

Ακριβές απόσπασμα
Ρέθυμνο, 08.12.2008
Η Γραμματέας
του Πρυτανικού Συμβουλίου
Φωτεινή Μαμαλάκη


4/12/08: Παραδείγματα μετρικών χώρων

4 Δεκεμβρίου, 2008

Σήμερα (2 ώρες στις ασκήσεις το πρωί και 1 το απόγευμα) ασχοληθήκαμε κυρίως με το να αναφέρουμε διάφορα παραδείγματα μετρικών χώρων.

Μεταξύ άλλων είδαμε πώς γενικεύεται η {\ell^p} μετρική από το {\mathbb R}^n σε χώρους απείρων ακολουθιών όπως και σε χώρους συναρτήσεων. Είδαμε πώς μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχη μετρική σε χώρους συνεχών συναρτήσεων. Ερώτηση για εσάς: γιατί υποθέτουμε τη συνέχεια των συναρτήσεων όταν ορίζουμε, π.χ., την απόσταση των {f,g:[a,b] \to {\mathbb R}} να είναι η L^1 απόσταση

\displaystyle {d_1(f,g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx};

Είδαμε επίσης πώς μπορεί κανείς να ορίσει ανάλογες μετρικές με βάρη. Για παράδειγμα, αν {w_1,\ldots,w_n>0} τότε ορίζουμε την \ell^p μετρική στο {\mathbb R}^n με βάρη w_j να είναι η ποσότητα

\displaystyle {d_{p,w}(a,b) = \left( \sum_{j=1}^n |a_j-b_j|^p w_j \right)^{1/p} },

όπου {a=(a_1,\ldots,a_n), b=(b_1,\ldots,b_n) \in {\mathbb R}^n,\ 1\le p < \infty}. Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας για αυτή τη βεβαρυμένη \ell^p είναι σχεδόν άμεση συνέπεια της αντίστοιχης με βάρη w_j=1.

Ομοίως αποδεικνύεται και η βεβαρυμένη Holder:

\displaystyle { |\sum a_j b_j w_j | \le (\sum |a_j|^p w_j)^{1/p} \cdot (\sum |b_j|^q w_j)^{1/q} }.


2/12/08: Ιδιότητες δυναμοσειρών. Εισαγωγή στους μετρικούς χώρους.

3 Δεκεμβρίου, 2008

Καλύψαμε την παρ. 3.2 των σημειώσεων. Είδαμε ότι οι δυναμοσειρές συγκλίνουν ομοιόμορφα για κάθε κλειστό γνήσιο υποδιάστημα του διαστήματος σύγκλισης και ότι είναι, άρα, συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα σύγκλισης. Όταν ολοκληρώνουμε την

{ \displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n}

σε ένα διάστημα {[a,b] \subseteq (x_0-R, x_0+R)} (R η ακτίνα σύγκλισης) τότε το αποτέλεσμα είναι η σειρά των ολοκληρωμάτων των όρων της σειράς στο ίδιο διάστημα. Μπορούμε δηλ. να ολοκληρώνουμε δυναμοσειρές κατά όρους. Από αυτό δείξαμε έπειτα ότι κάθε δυναμοσειρά παραγωγίζεται στο διάστημα σύγκλισης και η παράγωγος είναι η δυναμοσειρά που προκύπτει αν παραγωγίσουμε τους όρους της αρχικής. Άρα κάθε δυναμοσειρά είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα σύγκλισής της. Τέλος είδαμε παραδείγματα δυναμοσειρών και εφαρμογές των παραπάνω σε αυτές (γεωμετρική, εκθετική συνάρτηση, λογάριθμο).

Λύστε τις ασκήσεις 15, 16 και 17 της 3.2.

Μπορείτε να παραλείψετε τις παραγράφους 3.3 και 3.4.

Αρχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους (παρ. 4.1) και είδαμε διάφορα παραδείγματα τέτοιων. Αποδείξαμε τις ανισότητες

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \right)^{1/2} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^2 \right)^{1/2} } (Cauchy-Schwartz)

και, αν {1<p,q<\infty} και {\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1} τότε

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^q \right)^{1/q}} (Holder).

Από αυτές (η πρώτη είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης για p=q=2) προκύπτει η τριγωνική ανισότητα για τις λεγόμενες \ell^p μετρικές (αποστάσεις) στο {\mathbb R}^n.

Διαβάστε την παρ. 4.1 και λύστε από εκεί τις ασκήσεις 2, 3.


Ασκήσεις την Πέμπτη με μένα

2 Δεκεμβρίου, 2008

Την Πέμπτη 4/12/08 θα διδάξω εγώ το δίωρο των ασκήσεων μια και ο βοηθός (Γιάννης Κωνσταντούλας) παίρνει το πτυχίο του, και πρέπει να πάει οπωσδήποτε για να πει και τον όρκο.

Και στα δικά σας.


Έχετε 3 1/2 ώρες στη διάθεσή σας;

2 Δεκεμβρίου, 2008

Δοκιμάστε τις ικανότητές σας σε αυτό το διαγώνισμα. (Οι απαντήσεις εδώ αλλά μην τις κοιτάξετε πριν το λύσετε.)


27/11/08: Λύσεις για το 2ο διαγώνισμα

29 Νοεμβρίου, 2008

Σήμερα στο μάθημα λύσαμε τις ασκήσεις του 2ου διαγωνίσματος.


27/11/08: Όχι ασκήσεις σήμερα

27 Νοεμβρίου, 2008

Το σημερινό μάθημα των ασκήσεων 11-1 δε θα γίνει λόγω ξαφνικής ασθένειας του βοηθού.


21/11/08: Δεύτερο Διαγώνισμα

22 Νοεμβρίου, 2008

Είχαμε σήμερα το δεύτερό μας διαγώνισμα. Μπορείτε να δείτε τα αποτελέσματα εδώ σε μορφή PDF.

Τα αποτελέσματα είναι αισθητά χειρότερα από το πρώτο διαγώνισμα. Η αλήθεια είναι ότι το υλικό (ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών και σειρών) είναι σαφώς δυσκολότερο από τη σύγκλιση σειρών αριθμών. Ελπίζω ότι στο τρίτο διαγώνισμα, που θα αφορά κυρίως τους μετρικούς χώρους, θα έχουμε την ευκαιρία να το διορθώσουμε.


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα την Τρίτη 25/11/08

21 Νοεμβρίου, 2008

Από την Κοσμητεία της Σχολής:

ΠΡΟΣ

όλα τα μέλη της

Πανεπιστημιακής Κοινότητας

του προκατασκευασμένου κτιρίου

της λ. Κνωσού

Αγαπητά μέλη της Πανεπιστημιακής Κοινότητας,

Με λύπη μου σας ανακοινώνω ότι λόγω εκτάκτου ανάγκης, θα γίνει ΑΝΑΣΤΟΛΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ της Σχολής Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών στο ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ της λ. Κνωσού, την ΤΡΙΤΗ 25 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ, λόγω επείγουσας ανάγκης για την επισκευή του δικτύου ύδρευσης.

Δεν θα υπάρχει νερό σε κανένα σημείο του προκατασκευασμένου κτιρίου (δηλαδή ούτε στο εστιατόριο, ούτε στο κυλικείο).

Ελπίζω ότι η βλάβη θα αποκατασταθεί εντός μίας ημέρας.

Κυλάφης Νικόλαος,

Κοσμήτωρ Σχολής Θετικών και

Τεχνολογικών Επιστημών


20/11/08: Λύση ασκήσεων

20 Νοεμβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε μερικές ασκήσεις από την παρ. 3.1.

Το μάθημα διακόπηκε 20 λεπτά νωρίτερα από τη συνέλευση των φοιτητών που γινόταν στο διπλανό αμφιθέατρο.


18/11/08: Λύση ασκήσεων

18 Νοεμβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε τις υπόλοιπες ασκήσεις από το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων (εκτός την τελευταία).


13/11/08: Δίωρο ασκήσεων και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών

14 Νοεμβρίου, 2008

Το πρωί στο δίωρο ασκήσεων (που το δίδαξα εγώ σήμερα) κάναμε κάποιες ασκήσεις από το 2ο φυλλάδιο (μέχρι και την 4η του 2ου προβλήματος).

Το απόγευμα ασχοληθήκαμε με την ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών και είδαμε κυρίως το κριτήριο του Weierstrass και πώς χρησιμοποιέιται.

Λύστε τις Ασκήσεις 1-4 της {\S3.1}.


Δεύτερο Φυλλάδιο Ασκήσεων

5 Νοεμβρίου, 2008

Με ασκήσεις πάνω στην ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων. Μπορείτε να το βρείτε εδώ σε μορφή PDF.Θα υπάρχουν και μερικά τυπωμένα αντίγραφα έξω από το γραφείο μου.


4/11/08: Ιδιότητες της ομοιόμ. σύγκλισης

5 Νοεμβρίου, 2008

Σήμερα είδαμε το κριτήριο του Cauchy για να συγκλίνει μια ακολουθία συναρτήσεων ομοιόμορφα. Η μεγάλη αξία του κριτηρίου αυτού είναι ότι μας επιτρέπει να πούμε αν μια ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα χωρίς να ξέρουμε εκ των προτέρων την οριακή συνάρτηση.

Είδαμε επίσης ότι η συνέχεια διατηρείται από την ομοιόμορφη σύγκλιση (Θεώρ. 2.2 των σημειώσεών σας) καθώς και ότι τα ολοκληρώματα των συναρτήσεων της ακολουθίας συγκλίνουν στο ολοκλήρωμα του ορίου (Θεώρ. 2.2). Δεν αναφερθήκαμε στο Θεώρ. 2.4.

Είδαμε το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass (χωρίς απόδειξη) και διάφορες παραλλαγές του.

Λύστε τις ασκήσεις 18, 23, 24, 25 του Κεφ. 2 των σημειώσεών σας.


30/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση και διατήρησή της από πράξεις

30 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε κατ’αρχήν την Άσκηση 12 των σημειώσεών σας. Έπειτα αποδείξαμε την Πρόταση 2.3 και την Άσκηση 14. Αυτές μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών f_n\cdot g_n, f_n/g_n και g\circ f_n, γνωρίζοντας την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών f_n, g_n και μερικές επιπλέον προϋποθέσεις.


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα, ασκήσεις στις 6/11/2008

27 Οκτωβρίου, 2008

Λόγω απουσίας μου αλλά και του μεταπτυχιακού φοιτητή που διδάσκει το δίωρο ασκήσεων, το δίωρο ασκήσεων και η μια ώρα του μαθήματος της 6/11/2008 δε θα γίνουν.

Επίσης το δίωρο ασκήσεων της 13/11/2008 θα διδαχτεί από εμένα.

Υπενθυμίζεται επίσης ότι η 11/11/2008 είναι αργία για το Πανεπιστήμιο στο Ηράκλειο.


23/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση

23 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις 10 και 11 (σελ. 44 των σημειώσεών σας).


21/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων

22 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα συζητήσαμε κατ’αρχήν τις ασκήσεις του διαγωνίσματος της περασμένης Παρασκευής.

Είδαμε παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων f_n(x) που συγκλίνουν κατά σημείο στο πεδίο ορισμού τους σε μια συνάρτηση f(x). Ορίσαμε την ομοιόμορφη απόσταση δύο συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους D ως

d_u(f,g) = \sup_{x \in D} |f(x)-g(x)|.

Το να συγκλίνει ομοιόμορφα μια ακολουθία συναρτήσεων f_n(x) στη συνάρτηση f(x) για x \in D σημαίνει ακριβώς ότι

d_u(f_n, f) \to 0 όταν n \to \infty.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Είδαμε διάφορα παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο και εξετάσαμε αν η σύγκλιση είνια ομοιόμορφη ή όχι.

Διαβάστε από τις \S 2.1 και 2.2 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10.


Διευκρίνηση για τους βαθμούς του διαγωνίσματος

21 Οκτωβρίου, 2008

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι, όσον αφορά τους βαθμούς του διαγωνίσματος, οι οποίοι σας ανακοινώθηκαν στην κλίμακα 0-10, η βάση δε βρίσκεται στο 5, και αυτό επειδή υπάρχει και αρνητική βαθμολόγηση για τις λάθος απαντήσεις. Για παράδειγμα, εάν αυτό ήταν το μόνο διαγώνισμα από το οποίο θα σας έκρινα για να περάσετε ή όχι το μάθημα τότε θα πέρναγαν αυτοί που είχαν από 4 και πάνω (στην κλίμακα 0-10) και ίσως και κάτι λιγότερο.

Όμως αυτή η γραμμή θα τραβηχτεί μόνο αφού έχουν γραφεί και τα τρία διαγωνίσματα. Δεν έχει δηλ. νόημα να κάνετε την ερώτηση τώρα αν «περνάτε ή όχι».


17/10/08: Πρώτο διαγώνισμα

18 Οκτωβρίου, 2008

Είχαμε σήμερα το πρώτο διαγώνισμα (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, 1 ώρα).

Τα αποτελέσματα είναι εδώ σε μορφή PDF.


16/10/08: Λύση ασκήσεων

16 Οκτωβρίου, 2008

Και στο σημερινό μάθημα ασχοληθήκαμε με το να λύσουμε ορισμένες ασκήσεις από τις σημειώσεις και το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων και να απαντήσουμε διάφορες ερωτήσεις.


14/10/08: Γινόμενο Cauchy σειρών. Αναδιατάξεις σειρών.

14 Οκτωβρίου, 2008

Ορίσαμε το γινόμενο Cauchy (ή συνέλιξη) δύο σειρών \sum_{n=0}^\infty a_n και \sum_{n=0}^\infty b_n ως τη σειρά \sum_{n=0}^\infty c_n όπου η ακολουθία c_n δίνεται από τον τύπο

\displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου »


13/10/08: Λύση ασκήσεων (έκτακτο δίωρο)

13 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα είχαμε ένα έκτακτο δίωρο ασκήσεων κατά τη διάρκεια του οποίου απαντήθηκαν διάφορες ερωτήσεις του ακροατηρίου και λύθηκαν από το διδάσκοντα διάφορες ασκήσεις.

Εδώ μπορείτε να βρείτε σε μορφή PDF μια συλλογή ασκήσεων την οποία περιμένω να λύσετε κατά τη διάρκεια της εβδομάδας ως μέρος της προετοιμασίας σας για το πρώτο διαγώνισμα (της ερχόμενης Παρασκευής).