26/1/09: Τρίτο διαγώνισμα και τελικοί βαθμοί

Ιανουαρίου 27, 2009

Σήμερα είχαμε το τελευταίο μας διαγώνισμα.

Μπορείτε να δείτε τους τελικούς σας βαθμούς εδώ.

(Προσοχή: υπήρξαν μερικές διορθώσεις στις 27/1, 4μμ.)

Παρακαλώ πολύ να ελέγχετε τα στοιχεία που σας αφορούν μια και τα λάθη (αντιγραφής, στο πρόγραμμα που βγάζει τους βαθμούς, κλπ) είναι υπαρκτά.


13/1/09: Παραδείγματα και ασκήσεις

Ιανουαρίου 16, 2009

Σήμερα ασχοληθήκαμε κυρίως με παραδείγματα και λίγες ασκήσεις σχετικές με το χθεσινό μάθημα.


12/1/09: Σημεία εσωτερικά, οριακά και σημεία συσσώρευσης

Ιανουαρίου 12, 2009

Σήμερα είδαμε τις έννοιες που περιλαμβάνονται στην παρ. 4.3 και ειδικότερα τους ορισμούς των εσωτερικών σημείων συνόλου A, των οριακών του σημείων, των σημείων συσσώρευσης καθώς και του συνόρου του A.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.3: 37, 38, 41, 42, 46, 47, 51, 55, 56, 60, 61, 64, 66, 70, 71, 75.


Έκτακτα μαθήματα τον Ιανουάριο (2η διόρθωση)

Ιανουαρίου 8, 2009

Καλή χρονιά.

Θα γίνουν τα εξής έκτακτα μαθήματα κατά τον Ιανουάριο:

«Θεωρία«: Δε 12/1/09, 5-7 (Αμφ Α), Τρ 13/1/09. 3-5 (Αμφ Α, όπως στη διάρκεια του εξαμήνου)

«Ασκήσεις«: Τρ 20/1/09, 5-7, Πα 23/1/09, 2-4 (Θ 207)

Υπάρχει περίπτωση να αλλάξουν οι ώρες. Τυχόν αλλαγές θα ανακοινωθούν εδώ.


18/12/08: Ισοδύναμες μετρικές. Κλειστά σύνολα.

Δεκέμβριος 18, 2008

Είδαμε ότι η ευκλείδια και η {\ell^1} μετρική στο {\mathbb R}^2 δίνουν τα ίδια ακριβώς ανοιχτά σύνολα και το ίδιο συμβαίνει με όλες τις μετρικές {\ell^p} σε όλους του {\mathbb R}^n.

Δύο μετρικές στο ίδιο σύνολο X λέγονται ισοδύναμες αν ορίζουν τα ίδια ανοιχτά σύνολα.

Δείξαμε έπειτα ότι σε κάθε μετρικό χώρο με μετρική d(x,y) υπάρχει μια ισοδύναμε μετρική που είναι φραγμένη, η

\displaystyle{ d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} }.

Ορίσαμε τα κλειστά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο ως τα συμπληρώματα των ανοιχτών συνόλων και δείξαμε ότι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών συνόλων είναι κλειστά σύνολα και ότι η τομή μιας οπιασδήποτε οικογένειας κλειστών συνόλων (όχι αναγκαστικά πεπερασμένης) είναι κλειστό σύνολο.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 7, 8, 12, 13, 15, 17-21, 24, 27, 35.


16/12/08: Παραδείγματα ανοιχτών συνόλων

Δεκέμβριος 16, 2008

Σήμερα εξετάζαμε διάφορες περιπτώσεις συνόλων, συνήθως υποσυνόλων του {\mathbb R} ή του {\mathbb R}^2 και βλέπαμε αν είναι ανοιχτά σύνολα ή όχι.

Επίσης αποδείξαμε ότι οποιαδήποτε ένωση ένωση ανοιχτω είναι ανοιχτό σύνολο και επίσης ότι οποιαδήποτε τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι επίσης ανοιχτό.


11/12/08: Γειτονιά (περιοχή) σημείου σε μετρικό χώρο

Δεκέμβριος 11, 2008

Είδαμε πώς ορίζουμε την έννοια της γειτονιάς (περιοχής) ενός σημείου {x \in X} ενός μετρικού χώρου με ακτίνα {r > 0}:

{N_x(r) = \{ y \in X:\ d(x,y) < r \}}.

Είδαμε έπειτα διάφορα παραδείγματα γειτονιάς σε μερικούς μετρικούς χώρους.

Είδαμε επίσης τον ορισμό ενός ανοιχτού συνόλου G \subseteq X. Το G λέγεται ανοιχτό αν για κάθε {g \in G} υπάρχει μια ολόκληρη γειτονιά του g που περιέχεται στο G, υπάρχει δηλ. r>0 τέτοιο ώστε

{N_g(r) \subseteq G}.

Διαβάστε μέχρι και τη σελ. 84 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 6, 7, 9-13.