30/9/08: Κριτήρια σύγκλισης σειρών

30 Σεπτεμβρίου, 2008

Σήμερα είδαμε τα εξής κριτήρια για τη σύγκλιση μιας σειράς

\sum_{n=1}^\infty a_n (*)

Κριτήριο του Cauchy (Θεώρημα 1.1 στις σημειώσεις σας): Γνωρίζουμε ήδη ότι μια ακολουθία συγκλίνει αν και μόνο αν είναι Cauchy. Αν ξαναγράψουμε αυτή την πρόταση για την ειδική περίπτωση που πρόκειται για την ακολουθία s_n = \sum_{k=1}^n a_k των μερικών αθροισμάτων της σειράς μας, παίρνουμε το κριτήριο αυτό.

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου »

Advertisement

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι ώρες γραφείου αυτή την Πέμπτη

24 Σεπτεμβρίου, 2008

Αυτή την Πέμπτη 25/9/08 δε θα έχω ώρες γραφείου γιατί θα απουσιάζω.


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Αλλαγή ημέρας ασκήσεων

24 Σεπτεμβρίου, 2008

Οι ώρες των ασκήσεων έγιναν κάθε Πέμπτη 11-1, στις Θ201, Θ207.

Αυτές θα αρχίσουν να γίνονται μάλλον την Πέμπτη 2/10/08 γιατί δεν έχουν ακόμη επιλεγεί οι φοιτητές που θα τις διδάσκουν.


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Βαθμολογικό σύστημα: εξαιρέσεις

23 Σεπτεμβρίου, 2008

Δίδεται η δυνατότητα σε όσους αδυνατούν να δώσουν τις υποχρεωτικές εξετάσεις μέσα στο εξάμηνο να ζητήσουν να βαθμολογηθούν μόνο από το τελικό διαγώνισμα. Αυτό είναι εφικτό όταν:

  1. Συντρέχουν αντικειμενικοί λόγοι (κάποιος υπηρετεί στο στρατό ή μένει μόνιμα αλλού και αδυνατεί να είναι εδώ).
  2. Πρέπει κάποιος που επιθυμεί να εξεταστεί μόνο σε τελικό διαγώνισμα να το δηλώσει γραπτώς σε μένα μέχρι τις 15/10/08, μαζί με τους λόγους που έχει.

Σε καμιά άλλη περίπτωση δε θα είναι δυνατή εναλλακτική εξέταση.


23/9/08: Σύγκλιση σειρών: εισαγωγικά

23 Σεπτεμβρίου, 2008

Ορίσαμε τι σημαίνει σύγκλιση μιας σειράς \sum_{n=1}^\infty a_n, με a_n \in {\mathbb R} (δηλ. σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1+\cdots+a_n).

Είδαμε με λεπτομέρεια πότε η γεωμετρική σειρά \sum_{n=1}^\infty x^n συγκλίνει και σε τί.

Διαβάστε τις σημειώσεις μέχρι πριν το Θ. 1.1 (κριτήριο Cauchy) και λύστε τις ασκήσεις 1-5.

Οι ασκήσεις που σας ανατίθενται κάθε εβδομάδα θα αποτελούν τη βάση για τη διδασκαλία των φροντιστηριακών μαθημάτων κάθε Τετάρτη (αρχίζουν μάλλον την επόμενη εβδομάδα μια και δεν έχουν οριστεί ακόμη οι βοηθοί φοιτητές).

Μοιράστηκε ένα φυλλάδιο.


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Μάθημα της 25/9/08 αναβάλλεται

22 Σεπτεμβρίου, 2008

Το μάθημα της Πέμπτης 25/9/08 αναβάλλεται λόγω απουσίας μου.


Ημερομηνίες Διαγωνισμάτων

22 Σεπτεμβρίου, 2008
  • 1ο διαγώνισμα: Παρασκευή 17/10/08, απόγευμα
  • 2ο διαγώνισμα: Παρασκευή 21/11/08, απόγευμα

Ωράριο

18 Σεπτεμβρίου, 2008

Διαλέξεις Τρίτη 3-5 και Πέμπτη 3-4 στο Αμφ ΣΠ.

Ασκήσεις κάθε Τετάρτη 11-1 στις αίθουσες Θ 201 και Θ 207.


Ημερολόγιο μαθήματος

17 Σεπτεμβρίου, 2008

Στην ιστοσελίδα αυτή θα γράφω μετά από το τέλος κάθε μαθήματος (ή με μια-δυο μέρες καθυστέρηση) επιγραμματικά την ύλη που καλύφθηκε στο μάθημα και θα προσπαθώ να τονίζω τα σημαντικά, να ξεκαθαρίζω πράγματα που ενδεχομένως δεν ξακαθάρισα στο μάθημα,να δίνω ίσως κάποιες υποδείξεις για λύσεις προβλημάτων, κλπ.

Επίσης ανακοινώσεις κάθε είδους θα μπαίνουν εδώ (μην περιμένετε να δείτε πολλές ανακοινώσεις σε χαρτί κολλημένες στους τοίχους).

Περιμένω από όσους παίρνουν το μάθημα να επισκέπτονται την ιστοσελίδα αυτή τουλάχιστον 2-3 φορές την εβδομάδα.

Αφού αυτή η σελίδα είναι σε μορφή blog υπάρχει η δυνατότητα να υποβάλετε σχόλια (ενυπόγραφα πάντα). Σχόλια που δεν έχουν σχέση με το μάθημα (ή έστω με τα Μαθηματικά) δεν είναι ευπρόσδεκτα και θα διαγράφονται.


Σημειώσεις και περιεχόμενο του μαθήματος

17 Σεπτεμβρίου, 2008

Θα χρησιμοποιηθούν οι σημειώσεις του κ. Παπαδημητράκη (εδώ σε PDF).

Το μάθημα περιγράφεται στον οδηγό σπουδών του Τμήματος:

M109 EIΣAΓΩΓH ΣTHN ANAΛYΣH II

Διδακτικές Μονάδες
4
Διαλέξεις
3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια
2
Μονάδες ECTS
9
Προαπαιτούμενα
Συνιστώμενα
108

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω θεωρητική μελέτη εννοιών και συμπερασμάτων του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής. H έμφαση δίνεται στη μελέτη των σειρών πραγματικών αριθμών και των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων.

Yλη

1. Tοπολογία του R

Περιοχές. Aνοικτά και κλειστά σύνολα. Iδιότητες. Tα ανοικτά υποσύνολα του R σαν ενώσεις ανα δύο ξένων διαστημάτων. Tο σύνολο του Cantor. Eσωτερικό, κλειστότητα, σύνορο. Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ανοικτών ή κλειστών συνόλων.

2. Mετρικοί χώροι

H έννοια του μετρικού χώρου. Παραδείγματα. Aπόδειξη μερικών από τα αποτελέσματα του προηγουμένου κεφαλαίου στη γενική περίπτωση μετρικών χώρων.

3. Συμπάγεια

Συμπαγή υποσύνολα του R. Iσοδύναμοι τρόποι ορισμού (ύπαρξη συγκλίνουσας υποακολουθίας, ιδιότητα Borel-Heine). Yπαρξη μεγίστου – ελαχίστου στοιχείου. Συμπάγεια και συνέχεια (διατήρηση συμπάγειας, ομοιόμορφη συνέχεια). Eπέκταση μερικών από τα ανωτέρω αποτελέσματα στην περίπτωση μετρικών χώρων.

4. Σειρές

Oρισμός. Aπόδειξη κριτηρίων σύγκλισης. Aθροιση κατά μέρη. Aπόλυτη σύγκλιση σειρών. Aναδιατάξεις σειρών. Γινόμενο Cauchy. Δεκαδική παράσταση πραγματικού αριθμού.

5. Aκολουθίες συναρτήσεων

Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση. Παραδείγματα. Kριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση. Σχέση με συνέχεια, ολοκλήρωση, παραγώγιση. Θεώρημα Dini. O μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων σε ένα κλειστό διάστημα.

6. Θεώρημα Stone-Weierstrass

7. Σειρές συναρτήσεων

Κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων (π.χ. Weierstrass).


Βαθμολογικό σύστημα

17 Σεπτεμβρίου, 2008

Θα γίνουν τρία υποχρεωτικά διαγωνίσματα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου (συμπεριλαμβανομένου του “τελικού”).

  • Για το βαθμό της περιόδου Ιανουαρίου αυτά μετρούν εξ ίσου, το καθένα για το 1/3 του βαθμού.
  • Για την περίοδο του Σεπτεμβρίου (και μόνο στην περίπτωση που το μάθημα δε δοθεί και το επόμενο εξάμηνο) το 3ο διαγώνισμα του εξαμήνου δε μετράει καθόλου, τα πρώτα δύο μετρούν το καθένα για το 1/6 του βαθμού και το διαγώνισμα του Σεπτεμβρίου μετράει για τα 2/3 του βαθμού.