30/9/08: Κριτήρια σύγκλισης σειρών

Σήμερα είδαμε τα εξής κριτήρια για τη σύγκλιση μιας σειράς

\sum_{n=1}^\infty a_n (*)

Κριτήριο του Cauchy (Θεώρημα 1.1 στις σημειώσεις σας): Γνωρίζουμε ήδη ότι μια ακολουθία συγκλίνει αν και μόνο αν είναι Cauchy. Αν ξαναγράψουμε αυτή την πρόταση για την ειδική περίπτωση που πρόκειται για την ακολουθία s_n = \sum_{k=1}^n a_k των μερικών αθροισμάτων της σειράς μας, παίρνουμε το κριτήριο αυτό.

Κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy (Πρόταση 1.8 στις σημειώσεις σας): Αν a_n \ge 0 τότε η σύγκλιση της (*) είναι ισοδύναμη με τη σύγκλιση της \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}. Απλή εφαρμογή αυτού του κριτηρίου μας δίνει π.χ. άμεσα ότι η σειρά \sum 1/n = \infty.

Κριτήριο του ολοκληρώματος (Πρόταση 1.9 στις σημειώσεις σας): Αν η συνάρτηση f:[1,\infty) \to {\mathbb R}^+ είναι φθίνουσα τότε η σειρά \sum_{n=1}^\infty f(n) συγκλίνει αν και μόνο αν το όριο \lim_{x\to\infty} \int_1^x f(t) dt υπάρχει και είναι πεπερασμένος αριθμός.

Ας εφαρμόσουμε το κριτήριο του ολοκληρώματος για να μελετήσουμε, για διάφορες τιμές της παραμέτρου \rho, τη σύγκλιση της σειράς

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \log^\rho n} (**).

Γράφοντας f(x) = (x \log^\rho x)^{-1} παρατηρούμε ότι η σειρά (**) είναι η \sum f(n) και ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις χρήσης του κριτηρίου του ολοκληρώματος.

Απλουστεύει πολύ τα πράγματα (στην περίπτωση \rho=1 παρακάτω) να αρχίσουμε την άθροιση στο (**) από το 2 αντί για το 1. Αυτό έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε γιατί η σύγκλιση μιας σειράς δεν αλλάζει αν πειράξουμε πεπερασμένους το πλήθος όρους της. Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int_2^x \frac{1}{t \log^\rho t}.

Αν \rho \neq 1 τότε με την αντικατάσταση u = \log t παίρνουμε ότι το ολοκλήρωμα αυτό ισούται με

\displaystyle \int_{\log 2}^{\log x} u^{-\rho} du = \frac{\log^{1-\rho}x - \log^{1-\rho}2}{1-\rho}

το οποίο συγκλίνει για x\to\infty αν και μόνο αν \rho > 1.

Στην περίπτωση \rho=1, που έχουμε να μελετήσουμε το \int_{\log 2}^{\log x}du/u = \log\log x - \log\log 2, το οποίο συγκλίνει στο \infty για x\to\infty. Το τελικό συμπέρασμα για την (**) είναι λοιπόν ότι συγκλίνει αν και μόνο αν \rho > 1.

Λύστε τις ασκήσεις 9, 11, 14, 15.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: