30/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση και διατήρησή της από πράξεις

30 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε κατ’αρχήν την Άσκηση 12 των σημειώσεών σας. Έπειτα αποδείξαμε την Πρόταση 2.3 και την Άσκηση 14. Αυτές μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών f_n\cdot g_n, f_n/g_n και g\circ f_n, γνωρίζοντας την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών f_n, g_n και μερικές επιπλέον προϋποθέσεις.

Advertisement

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα, ασκήσεις στις 6/11/2008

27 Οκτωβρίου, 2008

Λόγω απουσίας μου αλλά και του μεταπτυχιακού φοιτητή που διδάσκει το δίωρο ασκήσεων, το δίωρο ασκήσεων και η μια ώρα του μαθήματος της 6/11/2008 δε θα γίνουν.

Επίσης το δίωρο ασκήσεων της 13/11/2008 θα διδαχτεί από εμένα.

Υπενθυμίζεται επίσης ότι η 11/11/2008 είναι αργία για το Πανεπιστήμιο στο Ηράκλειο.


23/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση

23 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις 10 και 11 (σελ. 44 των σημειώσεών σας).


21/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων

22 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα συζητήσαμε κατ’αρχήν τις ασκήσεις του διαγωνίσματος της περασμένης Παρασκευής.

Είδαμε παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων f_n(x) που συγκλίνουν κατά σημείο στο πεδίο ορισμού τους σε μια συνάρτηση f(x). Ορίσαμε την ομοιόμορφη απόσταση δύο συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους D ως

d_u(f,g) = \sup_{x \in D} |f(x)-g(x)|.

Το να συγκλίνει ομοιόμορφα μια ακολουθία συναρτήσεων f_n(x) στη συνάρτηση f(x) για x \in D σημαίνει ακριβώς ότι

d_u(f_n, f) \to 0 όταν n \to \infty.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Είδαμε διάφορα παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο και εξετάσαμε αν η σύγκλιση είνια ομοιόμορφη ή όχι.

Διαβάστε από τις \S 2.1 και 2.2 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10.


Διευκρίνηση για τους βαθμούς του διαγωνίσματος

21 Οκτωβρίου, 2008

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι, όσον αφορά τους βαθμούς του διαγωνίσματος, οι οποίοι σας ανακοινώθηκαν στην κλίμακα 0-10, η βάση δε βρίσκεται στο 5, και αυτό επειδή υπάρχει και αρνητική βαθμολόγηση για τις λάθος απαντήσεις. Για παράδειγμα, εάν αυτό ήταν το μόνο διαγώνισμα από το οποίο θα σας έκρινα για να περάσετε ή όχι το μάθημα τότε θα πέρναγαν αυτοί που είχαν από 4 και πάνω (στην κλίμακα 0-10) και ίσως και κάτι λιγότερο.

Όμως αυτή η γραμμή θα τραβηχτεί μόνο αφού έχουν γραφεί και τα τρία διαγωνίσματα. Δεν έχει δηλ. νόημα να κάνετε την ερώτηση τώρα αν «περνάτε ή όχι».


17/10/08: Πρώτο διαγώνισμα

18 Οκτωβρίου, 2008

Είχαμε σήμερα το πρώτο διαγώνισμα (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, 1 ώρα).

Τα αποτελέσματα είναι εδώ σε μορφή PDF.


16/10/08: Λύση ασκήσεων

16 Οκτωβρίου, 2008

Και στο σημερινό μάθημα ασχοληθήκαμε με το να λύσουμε ορισμένες ασκήσεις από τις σημειώσεις και το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων και να απαντήσουμε διάφορες ερωτήσεις.


14/10/08: Γινόμενο Cauchy σειρών. Αναδιατάξεις σειρών.

14 Οκτωβρίου, 2008

Ορίσαμε το γινόμενο Cauchy (ή συνέλιξη) δύο σειρών \sum_{n=0}^\infty a_n και \sum_{n=0}^\infty b_n ως τη σειρά \sum_{n=0}^\infty c_n όπου η ακολουθία c_n δίνεται από τον τύπο

\displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου »


13/10/08: Λύση ασκήσεων (έκτακτο δίωρο)

13 Οκτωβρίου, 2008

Σήμερα είχαμε ένα έκτακτο δίωρο ασκήσεων κατά τη διάρκεια του οποίου απαντήθηκαν διάφορες ερωτήσεις του ακροατηρίου και λύθηκαν από το διδάσκοντα διάφορες ασκήσεις.

Εδώ μπορείτε να βρείτε σε μορφή PDF μια συλλογή ασκήσεων την οποία περιμένω να λύσετε κατά τη διάρκεια της εβδομάδας ως μέρος της προετοιμασίας σας για το πρώτο διαγώνισμα (της ερχόμενης Παρασκευής).


9/10/08: Δεκαδικό σύστημα γραφής αριθμών. Δυναμοσειρές.

9 Οκτωβρίου, 2008

Ορίσαμε τι σημαίνει όταν γράφουμε ένα αριθμό {x \in [0,1)} στο δεκαδικό σύστημα, δηλ.

\displaystyle x = (0.a_1a_2\cdots a_n \cdots)_{10} := \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n},

με a_n \in \{0,1,2,\ldots,9\}. Είδαμε πώς μπορεί κανείς γεωμετρικά να βρεί το δεκαδικό (ή δυαδικό) ανάπτυγμα ενός τέτοιου x.

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου »


ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα τη Δε 13/10/08

9 Οκτωβρίου, 2008

Θα γίνει έκτακτο μάθημα (κυρίως λύση ασκήσεων) τη Δευτέρα 13/10/08, στη Θ207, 5-7 το βράδυ.


7/10/09: Κριτήρια λόγου και ρίζας. Άθροιση κατά μέρη.

8 Οκτωβρίου, 2008

Είδαμε χωρίς απόδειξη τα κριτήρια του λόγου (d’Alembert, Θεώρ. 1.4) και ρίζας (Cauchy, Θεώρ. 1.5) για τη σύγκλιση σειρών, και παραδείγματα της χρήσης τους. Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου »


Ακριβείς ώρες διαγωνισμάτων

3 Οκτωβρίου, 2008

Τα δύο διαγωνίσματα θα γίνουν στις 17/10 και 21/11 στις 18:30-20:00 ακριβώς στο Αμφ ΒΞ. Θα πρέπει να είστε εκεί ακριβώς στις 18:30.

Δε θα επιτραπεί η χρήση σημειώσεων, βιβλίων, υπολογιστών ή οποιωνδήποτε άλλων βοηθημάτων.


2/10/09: Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση σειρών

2 Οκτωβρίου, 2008

Μιλήσαμε σήμερα για το τί σημαίνει μια σειρά \sum a_n να συγκλίνει απόλυτα (\sum|a_n| < \infty, το οποίο συνεπάγεται ότι η σειρά \sum a_n συγκλίνει) και τι να συγκλίνει υπό συνθήκη (να συγκλίνει αλλά όχι απόλυτα). Είδαμε διάφορα παραδείγματα σειρών που συγκλίνουν υπό συνθήκη. Επίσης αποδείξαμε το Θεώρημα 1.3 των σημειώσεών σας, κάναμε τα παραδείγματα που ακολουθούν και λύσαμε το πρώτο ερώτημα της άσκησης 18.


Σημειώσεις εκτυπώθηκαν

1 Οκτωβρίου, 2008

Οι σημειώσεις σας έχουν εκτυπωθεί. Όσοι υπογράψατε τη λίστα στο μάθημα μπορείτε να τις παραλαμβάνετε από την πτέρυγα Δ (από εκεί όπου μοιράζονται τα βιβλία).