30/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση και διατήρησή της από πράξεις

Σήμερα λύσαμε κατ’αρχήν την Άσκηση 12 των σημειώσεών σας. Έπειτα αποδείξαμε την Πρόταση 2.3 και την Άσκηση 14. Αυτές μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών , και , γνωρίζοντας την ομοιόμορφη σύγκλιση των ακολουθιών και μερικές επιπλέον προϋποθέσεις.

Advertisement

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Όχι μάθημα, ασκήσεις στις 6/11/2008

Λόγω απουσίας μου αλλά και του μεταπτυχιακού φοιτητή που διδάσκει το δίωρο ασκήσεων, το δίωρο ασκήσεων και η μια ώρα του μαθήματος της 6/11/2008 δε θα γίνουν.

Επίσης το δίωρο ασκήσεων της 13/11/2008 θα διδαχτεί από εμένα.

Υπενθυμίζεται επίσης ότι η 11/11/2008 είναι αργία για το Πανεπιστήμιο στο Ηράκλειο.

23/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση

Σήμερα λύσαμε τις ασκήσεις 10 και 11 (σελ. 44 των σημειώσεών σας).

21/10/08: Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων

Σήμερα συζητήσαμε κατ’αρχήν τις ασκήσεις του διαγωνίσματος της περασμένης Παρασκευής.

Είδαμε παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο στο πεδίο ορισμού τους σε μια συνάρτηση . Ορίσαμε την ομοιόμορφη απόσταση δύο συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους ως

Το να συγκλίνει ομοιόμορφα μια ακολουθία συναρτήσεων στη συνάρτηση για σημαίνει ακριβώς ότι

όταν .

Η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Είδαμε διάφορα παραδείγματα ακολουθιών συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά σημείο και εξετάσαμε αν η σύγκλιση είνια ομοιόμορφη ή όχι.

Διαβάστε από τις και 2.2 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10.

Διευκρίνηση για τους βαθμούς του διαγωνίσματος

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι, όσον αφορά τους βαθμούς του διαγωνίσματος, οι οποίοι σας ανακοινώθηκαν στην κλίμακα 0-10, η βάση δε βρίσκεται στο 5, και αυτό επειδή υπάρχει και αρνητική βαθμολόγηση για τις λάθος απαντήσεις. Για παράδειγμα, εάν αυτό ήταν το μόνο διαγώνισμα από το οποίο θα σας έκρινα για να περάσετε ή όχι το μάθημα τότε θα πέρναγαν αυτοί που είχαν από 4 και πάνω (στην κλίμακα 0-10) και ίσως και κάτι λιγότερο.

Όμως αυτή η γραμμή θα τραβηχτεί μόνο αφού έχουν γραφεί και τα τρία διαγωνίσματα. Δεν έχει δηλ. νόημα να κάνετε την ερώτηση τώρα αν «περνάτε ή όχι».

17/10/08: Πρώτο διαγώνισμα

Είχαμε σήμερα το πρώτο διαγώνισμα (ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, 1 ώρα).

Τα αποτελέσματα είναι εδώ σε μορφή PDF.

16/10/08: Λύση ασκήσεων

Και στο σημερινό μάθημα ασχοληθήκαμε με το να λύσουμε ορισμένες ασκήσεις από τις σημειώσεις και το 1ο φυλλάδιο ασκήσεων και να απαντήσουμε διάφορες ερωτήσεις.

14/10/08: Γινόμενο Cauchy σειρών. Αναδιατάξεις σειρών.

Ορίσαμε το γινόμενο Cauchy (ή συνέλιξη) δύο σειρών και ως τη σειρά όπου η ακολουθία δίνεται από τον τύπο

.

13/10/08: Λύση ασκήσεων (έκτακτο δίωρο)

Σήμερα είχαμε ένα έκτακτο δίωρο ασκήσεων κατά τη διάρκεια του οποίου απαντήθηκαν διάφορες ερωτήσεις του ακροατηρίου και λύθηκαν από το διδάσκοντα διάφορες ασκήσεις.

Εδώ μπορείτε να βρείτε σε μορφή PDF μια συλλογή ασκήσεων την οποία περιμένω να λύσετε κατά τη διάρκεια της εβδομάδας ως μέρος της προετοιμασίας σας για το πρώτο διαγώνισμα (της ερχόμενης Παρασκευής).

9/10/08: Δεκαδικό σύστημα γραφής αριθμών. Δυναμοσειρές.

Ορίσαμε τι σημαίνει όταν γράφουμε ένα αριθμό στο δεκαδικό σύστημα, δηλ.

,

με . Είδαμε πώς μπορεί κανείς γεωμετρικά να βρεί το δεκαδικό (ή δυαδικό) ανάπτυγμα ενός τέτοιου .

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Έκτακτο μάθημα τη Δε 13/10/08

Θα γίνει έκτακτο μάθημα (κυρίως λύση ασκήσεων) τη Δευτέρα 13/10/08, στη Θ207, 5-7 το βράδυ.

7/10/09: Κριτήρια λόγου και ρίζας. Άθροιση κατά μέρη.

Είδαμε χωρίς απόδειξη τα κριτήρια του λόγου (d’Alembert, Θεώρ. 1.4) και ρίζας (Cauchy, Θεώρ. 1.5) για τη σύγκλιση σειρών, και παραδείγματα της χρήσης τους.

Ακριβείς ώρες διαγωνισμάτων

Τα δύο διαγωνίσματα θα γίνουν στις 17/10 και 21/11 στις 18:30-20:00 ακριβώς στο Αμφ ΒΞ. Θα πρέπει να είστε εκεί ακριβώς στις 18:30.

Δε θα επιτραπεί η χρήση σημειώσεων, βιβλίων, υπολογιστών ή οποιωνδήποτε άλλων βοηθημάτων.

2/10/09: Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση σειρών

Μιλήσαμε σήμερα για το τί σημαίνει μια σειρά να συγκλίνει απόλυτα (, το οποίο συνεπάγεται ότι η σειρά συγκλίνει) και τι να συγκλίνει υπό συνθήκη (να συγκλίνει αλλά όχι απόλυτα). Είδαμε διάφορα παραδείγματα σειρών που συγκλίνουν υπό συνθήκη. Επίσης αποδείξαμε το Θεώρημα 1.3 των σημειώσεών σας, κάναμε τα παραδείγματα που ακολουθούν και λύσαμε το πρώτο ερώτημα της άσκησης 18.

Σημειώσεις εκτυπώθηκαν

Οι σημειώσεις σας έχουν εκτυπωθεί. Όσοι υπογράψατε τη λίστα στο μάθημα μπορείτε να τις παραλαμβάνετε από την πτέρυγα Δ (από εκεί όπου μοιράζονται τα βιβλία).