7/10/09: Κριτήρια λόγου και ρίζας. Άθροιση κατά μέρη.

Είδαμε χωρίς απόδειξη τα κριτήρια του λόγου (d’Alembert, Θεώρ. 1.4) και ρίζας (Cauchy, Θεώρ. 1.5) για τη σύγκλιση σειρών, και παραδείγματα της χρήσης τους.

Λύστε τις ασκήσεις 22-25.

Επίσης είδαμε πώς αθροίζει κανείς μια σειρά κατά μέρη (άθροιση κατά Abel, Λήμμα 1.1 στην παρ. 1.4):

\sum_{k=1}^n a_k b _k = s_k (b_k - b_{k+1}) + s_n b_{n+1}

όπου a_n, b_n είναι δύο οποιεσδήποτε ακολουθίες και

s_n = a_1+\cdots+a_n

είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της a_n. Ο τύπος αυτός είναι πολύ χρήσιμος όταν έχει κάποιος σειρές με εναλασσόμενα πρόσημα, όπου περιμένει οι όροι (προσθετέοι) να «σκοτώνουν» ο ένας τον άλλο. Για να καταφέρει κανείς να το χρησιμοποιήσει αυτό ο τύπος της άθροισης κατά μέρη είναι πολύ χρήσιμος γιατί αυτή η ιδιότητα των εναλλασσόμενων όρων αναδεικνύεται από τη χρήση του s_n στη θέση του a_n (δείτε το Θεώρ. του Dirichlet παρακάτω).

Συνέπεια του τύπου της άθροισης κατά μέρη είναι το Θεώρημα του Dirichlet (Θεώρ. 1.6). Δείτε προσεκτικά και το παράδειγμα που ακολουθεί το Θεώρ. 1.6.

Λύστε τις ασκήσεις 26-28.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: