9/10/08: Δεκαδικό σύστημα γραφής αριθμών. Δυναμοσειρές.

Ορίσαμε τι σημαίνει όταν γράφουμε ένα αριθμό {x \in [0,1)} στο δεκαδικό σύστημα, δηλ.

\displaystyle x = (0.a_1a_2\cdots a_n \cdots)_{10} := \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n},

με a_n \in \{0,1,2,\ldots,9\}. Είδαμε πώς μπορεί κανείς γεωμετρικά να βρεί το δεκαδικό (ή δυαδικό) ανάπτυγμα ενός τέτοιου x.

Ασχοληθήκαμε μετά με την έννοια της δυναμοσειράς

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n,

όπου οι a_n ονομάζονται συντελεστές της δυναμοσειράς και το x_0 ονομάζεται κέντρο. Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς ορίζεται ως η ποσότητα

{\displaystyle R = \frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}} \in [0,\infty]}.

Δείξαμε χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ρίζας ότι μια τέτοια δυναμοσειρά συγκλίνει απόλυτα για |x-x_0| < R, και δε συγκλίνει για |x-x_0|>R. Για x = x_0 \pm R η σύγκλιση ή όχι της δυναμοσειράς δε μπορεί να προβλεφθεί κοιτώντας μόνο τα x_0, R.

Λύστε τις ασκήσεις 31-34.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: