14/10/08: Γινόμενο Cauchy σειρών. Αναδιατάξεις σειρών.

Ορίσαμε το γινόμενο Cauchy (ή συνέλιξη) δύο σειρών \sum_{n=0}^\infty a_n και \sum_{n=0}^\infty b_n ως τη σειρά \sum_{n=0}^\infty c_n όπου η ακολουθία c_n δίνεται από τον τύπο

\displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Αν μια από τις δύο σειρές \sum_{n=0}^\infty a_n και \sum_{n=0}^\infty b_n συγκλίνει απόλυτα τότε αποδεικνύεται (δεν κάναμε την απόδειξη) ότι και η \sum_{n=0}^\infty c_n συγκλίνει και μάλιστα

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n.

Μια ωραία εφαρμογή αυτού είναι στην περίπτωση των λεγόμενων γεννητριών συναρτήσεων. Γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας a_n  είναι η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο

\displaystyle A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n,

όπου αυτή η δυναμοσειρά συγκλίνει. Αν ορίσουμε A_n = a_0+\cdots+a_n να είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της a_n τότε το ερώτημα είναι να εκφραστεί η γεννήτρια συνάρτηση της A_n μέσω αυτής της a_n (υποθέστε για απλότητα ότι όλες οι σειρές που εμφανίζονται παρακάτω συγκλίνουν για κάθε πραγματικό x). Αν τώρα εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα που αναφέραμε για το γινόμενο Cauchy σειρών (ότι δηλ. η σειρά γινόμενο Cauchy δύο σειρών έχει ως άθροισμα το γινόμενο των αθροισμάτων των δύο σειρών) στις σειρές

\displaystyle A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n και \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n

τότε προκύπτει αμέσως ότι η γεννήτρια συνάρτηση της A_n είναι η

A(x) \cdot \frac{1}{1-x}.

Μιλήσαμε επίσης για αναδιατάξεις σειρών. Αν \sigma:\{0,1,2,\ldots\} \to \{0,1,2,\ldots\} είναι μια 1-1 και επί συνάρτηση (μια μετάθεση του \{0,1,2,\ldots\} όπως λέμε) τότε η \sigma-αναδιάταξη της σειράς \sum_{n=0}^\infty a_n είναι απλά η σειρά

\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}.

Το θεμελιώδες θεώρημα εδώ είναι το ακόλουθο:

Αν η σειρά \sum_{n=0}^\infty a_n συγκλίνει απόλυτα τότε κάθε αναδιάταξή της συγκλίνει απόλυτα και μάλιστα στον ίδιο αριθμό. Αντίθετα, αν μια σειρά \sum_{n=0}^\infty a_n συγκλίνει υπό συνθήκη (δηλ. συγκλίνει αλλά όχι απόλυτα) τότε για κάθε αριθμό x \in {\mathbb R} \cup \{-\infty, +\infty\} υπάρχει μια μετάθεση \sigma τέτοια ώστε η αναδιάταξη \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} συγκλίνει στο x.

Σε μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά δηλ. είμαστε ελεύθεροι να την αναδιατάξουμε όπως θέλουμε χωρίς να επηρεάζεται η σύγκλισή της αλλά ούτε και το άθροισμά της.

Όσον αφορά το διαγώνισμα της Παρασκευής 17/10/08, η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει ότι έχετε διδαχτεί μέχρι και σήμερα εκτός τις αναδιατάξεις σειρών.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: