18/12/08: Ισοδύναμες μετρικές. Κλειστά σύνολα.

18 Δεκεμβρίου, 2008

Είδαμε ότι η ευκλείδια και η {\ell^1} μετρική στο {\mathbb R}^2 δίνουν τα ίδια ακριβώς ανοιχτά σύνολα και το ίδιο συμβαίνει με όλες τις μετρικές {\ell^p} σε όλους του {\mathbb R}^n.

Δύο μετρικές στο ίδιο σύνολο X λέγονται ισοδύναμες αν ορίζουν τα ίδια ανοιχτά σύνολα.

Δείξαμε έπειτα ότι σε κάθε μετρικό χώρο με μετρική d(x,y) υπάρχει μια ισοδύναμε μετρική που είναι φραγμένη, η

\displaystyle{ d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} }.

Ορίσαμε τα κλειστά σύνολα σε ένα μετρικό χώρο ως τα συμπληρώματα των ανοιχτών συνόλων και δείξαμε ότι πεπερασμένες ενώσεις κλειστών συνόλων είναι κλειστά σύνολα και ότι η τομή μιας οπιασδήποτε οικογένειας κλειστών συνόλων (όχι αναγκαστικά πεπερασμένης) είναι κλειστό σύνολο.

Λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 7, 8, 12, 13, 15, 17-21, 24, 27, 35.

Advertisement

16/12/08: Παραδείγματα ανοιχτών συνόλων

16 Δεκεμβρίου, 2008

Σήμερα εξετάζαμε διάφορες περιπτώσεις συνόλων, συνήθως υποσυνόλων του {\mathbb R} ή του {\mathbb R}^2 και βλέπαμε αν είναι ανοιχτά σύνολα ή όχι.

Επίσης αποδείξαμε ότι οποιαδήποτε ένωση ένωση ανοιχτω είναι ανοιχτό σύνολο και επίσης ότι οποιαδήποτε τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι επίσης ανοιχτό.


11/12/08: Γειτονιά (περιοχή) σημείου σε μετρικό χώρο

11 Δεκεμβρίου, 2008

Είδαμε πώς ορίζουμε την έννοια της γειτονιάς (περιοχής) ενός σημείου {x \in X} ενός μετρικού χώρου με ακτίνα {r > 0}:

{N_x(r) = \{ y \in X:\ d(x,y) < r \}}.

Είδαμε έπειτα διάφορα παραδείγματα γειτονιάς σε μερικούς μετρικούς χώρους.

Είδαμε επίσης τον ορισμό ενός ανοιχτού συνόλου G \subseteq X. Το G λέγεται ανοιχτό αν για κάθε {g \in G} υπάρχει μια ολόκληρη γειτονιά του g που περιέχεται στο G, υπάρχει δηλ. r>0 τέτοιο ώστε

{N_g(r) \subseteq G}.

Διαβάστε μέχρι και τη σελ. 84 των σημειώσεών σας και λύστε τις ασκήσεις της παρ. 4.2: 6, 7, 9-13.


Διακοπή μαθημάτων στο ΠΚ

9 Δεκεμβρίου, 2008

Χωρίς σχόλια …

ΠΡΑΚΤΙΚΑ 610ης/08.12.2008 ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣ ΤΟΥ
ΠΡΥΤΑΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ


Θέματα Ακαδημαϊκά

Θέμα  «Διακοπή της θεσμικής λειτουργίας του Πανεπιστημίου
Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008»

Το Πρυτανικό Συμβούλιο συνήλθε εκτάκτως σήμερα σε έκτακτη
συνεδρίαση και σε συνέχεια του Δελτίο Τύπου, και λαμβάνοντας υπόψη τις αποφάσεις των Γενικών Συνελεύσεων των φοιτητικών συλλόγων,

Α π ο φ α σ ί ζ ε ι


Να διακόψει την θεσμική λειτουργία του Πανεπιστημίου Κρήτης για τις ημέρες 9 και 10 Δεκεμβρίου 2008, τιμώντας έτσι στο ελάχιστο, τον αδικοχαμένο μαθητή Αλέξη Γρηγορόπουλο. Παράλληλα, αναλαμβάνει πρωτοβουλίες για ειρηνικές παρεμβάσεις και συζητήσεις ούτως ώστε να κατανοήσουμε ότι η καταστολή της βίας δεν γίνεται με βία αλλά με εμπέδωση και εμβάθυνση της δημοκρατίας σε όλους τους θεσμούς. Το δικαίωμα της ειρηνικής αμφισβήτησης, της ελευθερίας γνώμης και της ελεύθερης διακίνησης των ιδεών, είναι η προϋπόθεση για μια ειρηνική
και ελεύθερη κοινωνία.

Ακριβές απόσπασμα
Ρέθυμνο, 08.12.2008
Η Γραμματέας
του Πρυτανικού Συμβουλίου
Φωτεινή Μαμαλάκη


4/12/08: Παραδείγματα μετρικών χώρων

4 Δεκεμβρίου, 2008

Σήμερα (2 ώρες στις ασκήσεις το πρωί και 1 το απόγευμα) ασχοληθήκαμε κυρίως με το να αναφέρουμε διάφορα παραδείγματα μετρικών χώρων.

Μεταξύ άλλων είδαμε πώς γενικεύεται η {\ell^p} μετρική από το {\mathbb R}^n σε χώρους απείρων ακολουθιών όπως και σε χώρους συναρτήσεων. Είδαμε πώς μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχη μετρική σε χώρους συνεχών συναρτήσεων. Ερώτηση για εσάς: γιατί υποθέτουμε τη συνέχεια των συναρτήσεων όταν ορίζουμε, π.χ., την απόσταση των {f,g:[a,b] \to {\mathbb R}} να είναι η L^1 απόσταση

\displaystyle {d_1(f,g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx};

Είδαμε επίσης πώς μπορεί κανείς να ορίσει ανάλογες μετρικές με βάρη. Για παράδειγμα, αν {w_1,\ldots,w_n>0} τότε ορίζουμε την \ell^p μετρική στο {\mathbb R}^n με βάρη w_j να είναι η ποσότητα

\displaystyle {d_{p,w}(a,b) = \left( \sum_{j=1}^n |a_j-b_j|^p w_j \right)^{1/p} },

όπου {a=(a_1,\ldots,a_n), b=(b_1,\ldots,b_n) \in {\mathbb R}^n,\ 1\le p < \infty}. Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας για αυτή τη βεβαρυμένη \ell^p είναι σχεδόν άμεση συνέπεια της αντίστοιχης με βάρη w_j=1.

Ομοίως αποδεικνύεται και η βεβαρυμένη Holder:

\displaystyle { |\sum a_j b_j w_j | \le (\sum |a_j|^p w_j)^{1/p} \cdot (\sum |b_j|^q w_j)^{1/q} }.


2/12/08: Ιδιότητες δυναμοσειρών. Εισαγωγή στους μετρικούς χώρους.

3 Δεκεμβρίου, 2008

Καλύψαμε την παρ. 3.2 των σημειώσεων. Είδαμε ότι οι δυναμοσειρές συγκλίνουν ομοιόμορφα για κάθε κλειστό γνήσιο υποδιάστημα του διαστήματος σύγκλισης και ότι είναι, άρα, συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα σύγκλισης. Όταν ολοκληρώνουμε την

{ \displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n}

σε ένα διάστημα {[a,b] \subseteq (x_0-R, x_0+R)} (R η ακτίνα σύγκλισης) τότε το αποτέλεσμα είναι η σειρά των ολοκληρωμάτων των όρων της σειράς στο ίδιο διάστημα. Μπορούμε δηλ. να ολοκληρώνουμε δυναμοσειρές κατά όρους. Από αυτό δείξαμε έπειτα ότι κάθε δυναμοσειρά παραγωγίζεται στο διάστημα σύγκλισης και η παράγωγος είναι η δυναμοσειρά που προκύπτει αν παραγωγίσουμε τους όρους της αρχικής. Άρα κάθε δυναμοσειρά είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα σύγκλισής της. Τέλος είδαμε παραδείγματα δυναμοσειρών και εφαρμογές των παραπάνω σε αυτές (γεωμετρική, εκθετική συνάρτηση, λογάριθμο).

Λύστε τις ασκήσεις 15, 16 και 17 της 3.2.

Μπορείτε να παραλείψετε τις παραγράφους 3.3 και 3.4.

Αρχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους (παρ. 4.1) και είδαμε διάφορα παραδείγματα τέτοιων. Αποδείξαμε τις ανισότητες

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \right)^{1/2} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^2 \right)^{1/2} } (Cauchy-Schwartz)

και, αν {1<p,q<\infty} και {\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1} τότε

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^q \right)^{1/q}} (Holder).

Από αυτές (η πρώτη είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης για p=q=2) προκύπτει η τριγωνική ανισότητα για τις λεγόμενες \ell^p μετρικές (αποστάσεις) στο {\mathbb R}^n.

Διαβάστε την παρ. 4.1 και λύστε από εκεί τις ασκήσεις 2, 3.


Ασκήσεις την Πέμπτη με μένα

2 Δεκεμβρίου, 2008

Την Πέμπτη 4/12/08 θα διδάξω εγώ το δίωρο των ασκήσεων μια και ο βοηθός (Γιάννης Κωνσταντούλας) παίρνει το πτυχίο του, και πρέπει να πάει οπωσδήποτε για να πει και τον όρκο.

Και στα δικά σας.


Έχετε 3 1/2 ώρες στη διάθεσή σας;

2 Δεκεμβρίου, 2008

Δοκιμάστε τις ικανότητές σας σε αυτό το διαγώνισμα. (Οι απαντήσεις εδώ αλλά μην τις κοιτάξετε πριν το λύσετε.)