2/12/08: Ιδιότητες δυναμοσειρών. Εισαγωγή στους μετρικούς χώρους.

Καλύψαμε την παρ. 3.2 των σημειώσεων. Είδαμε ότι οι δυναμοσειρές συγκλίνουν ομοιόμορφα για κάθε κλειστό γνήσιο υποδιάστημα του διαστήματος σύγκλισης και ότι είναι, άρα, συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα σύγκλισης. Όταν ολοκληρώνουμε την

{ \displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n}

σε ένα διάστημα {[a,b] \subseteq (x_0-R, x_0+R)} (R η ακτίνα σύγκλισης) τότε το αποτέλεσμα είναι η σειρά των ολοκληρωμάτων των όρων της σειράς στο ίδιο διάστημα. Μπορούμε δηλ. να ολοκληρώνουμε δυναμοσειρές κατά όρους. Από αυτό δείξαμε έπειτα ότι κάθε δυναμοσειρά παραγωγίζεται στο διάστημα σύγκλισης και η παράγωγος είναι η δυναμοσειρά που προκύπτει αν παραγωγίσουμε τους όρους της αρχικής. Άρα κάθε δυναμοσειρά είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα σύγκλισής της. Τέλος είδαμε παραδείγματα δυναμοσειρών και εφαρμογές των παραπάνω σε αυτές (γεωμετρική, εκθετική συνάρτηση, λογάριθμο).

Λύστε τις ασκήσεις 15, 16 και 17 της 3.2.

Μπορείτε να παραλείψετε τις παραγράφους 3.3 και 3.4.

Αρχίσαμε να μιλάμε για μετρικούς χώρους (παρ. 4.1) και είδαμε διάφορα παραδείγματα τέτοιων. Αποδείξαμε τις ανισότητες

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \right)^{1/2} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^2 \right)^{1/2} } (Cauchy-Schwartz)

και, αν {1<p,q<\infty} και {\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1} τότε

{\displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_j b_j \right| \le  \left( \sum_{j=1}^n |a_j|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum_{j=1}^n |b_j|^q \right)^{1/q}} (Holder).

Από αυτές (η πρώτη είναι ειδική περίπτωση της δεύτερης για p=q=2) προκύπτει η τριγωνική ανισότητα για τις λεγόμενες \ell^p μετρικές (αποστάσεις) στο {\mathbb R}^n.

Διαβάστε την παρ. 4.1 και λύστε από εκεί τις ασκήσεις 2, 3.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: