4/12/08: Παραδείγματα μετρικών χώρων

Σήμερα (2 ώρες στις ασκήσεις το πρωί και 1 το απόγευμα) ασχοληθήκαμε κυρίως με το να αναφέρουμε διάφορα παραδείγματα μετρικών χώρων.

Μεταξύ άλλων είδαμε πώς γενικεύεται η {\ell^p} μετρική από το {\mathbb R}^n σε χώρους απείρων ακολουθιών όπως και σε χώρους συναρτήσεων. Είδαμε πώς μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχη μετρική σε χώρους συνεχών συναρτήσεων. Ερώτηση για εσάς: γιατί υποθέτουμε τη συνέχεια των συναρτήσεων όταν ορίζουμε, π.χ., την απόσταση των {f,g:[a,b] \to {\mathbb R}} να είναι η L^1 απόσταση

\displaystyle {d_1(f,g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx};

Είδαμε επίσης πώς μπορεί κανείς να ορίσει ανάλογες μετρικές με βάρη. Για παράδειγμα, αν {w_1,\ldots,w_n>0} τότε ορίζουμε την \ell^p μετρική στο {\mathbb R}^n με βάρη w_j να είναι η ποσότητα

\displaystyle {d_{p,w}(a,b) = \left( \sum_{j=1}^n |a_j-b_j|^p w_j \right)^{1/p} },

όπου {a=(a_1,\ldots,a_n), b=(b_1,\ldots,b_n) \in {\mathbb R}^n,\ 1\le p < \infty}. Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας για αυτή τη βεβαρυμένη \ell^p είναι σχεδόν άμεση συνέπεια της αντίστοιχης με βάρη w_j=1.

Ομοίως αποδεικνύεται και η βεβαρυμένη Holder:

\displaystyle { |\sum a_j b_j w_j | \le (\sum |a_j|^p w_j)^{1/p} \cdot (\sum |b_j|^q w_j)^{1/q} }.

Advertisement

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: